Происхождение названия этого инструмента довольно простое.

После появления в России около 150 лет назад различных типов гармоней народ стал так называть инструменты, похожие на те, которые использовали уличные бродячие музыканты (главным образом, итальянцы, в просторечии - "тальянцы").
Основными отличиями тальянки были:
- однорядное расположение кнопок;
- наличие 3-4 кнопок на левой части клавиатуры и 12-15 - на правой; левые кнопки чаще всего издавали звон колокольчиков;
- высота и тональность издаваемых звуков менялась в зависимости от направления движения мехов (то есть при сжатии и разжимании); в большинстве других типов гармоней этого не было.
Название тальянка быстро утвердилось благодаря распространению песен, поговорок, частушек, лирических стихов, в которых воспевалась эта однорядная (но незаурядная!) гармоника.
Добавлю ещё, что на Урале "тальянчиками", "тальяшками" издавна называли драгоценные камни. Это также способствовало закреплению яркости и образности слова.
С конца XIX века тальянка стала очень популярной во многих регионах Росии. К примеру, её очень полюбили в татарском народе. И по сей день она считается одним из народных инструментов в Республике Татарстан.
Не забыл о ней и Сергей Есенин:
Сыпь, тальянка, звонко, сыпь, тальянка, смело!
Вспомнить, что ли, юность, ту, что пролетела?
Не шуми, осина, не пыли, дорога.
Пусть несётся песня к милой до порога.
Пусть она услышит, пусть она поплачет,
Ей чужая юность ничего не значит.
Ну, а если значит — проживёт не мучась.
Где ты, моя радость? Где ты, моя участь?
Лейся, песня, пуще, лейся, песня, звяньше.
Всё равно не будет то, что было раньше.
За былую силу, гордость и осанку
Только и осталась песня под тальянку.
1925
А в 1943 году тальянка была увековечена в знаменитейшей песне В.И. Соловьёва-Седого и А.И. Фатьянова "На солнечной поляночке".