Нужно нажать пальцем на иконку, у которой "горит цифра" в углу сверху и подержать её подольше (около двух секунд или чуть меньше) - иконка начнёт "скакать" и появятся варианты "Очистить значок", "Выключить" и "Информация о приложении" - вам надо "Очистить значок". Цифра "1" у вас может "гореть" не только потому что не все сообщения прочитаны, а ещё и потому, например, что у вас есть непринятые предложения дружбы, с которыми вы не совершили ни каких действий в "Фейсбуке"...
Очистка кэша не помогает. А при удержании значка такого меню не появляется, видимо не тот смартфон. И с дружбами все решено. Дето в том, что вначале, после установки приложения, все было в порядке, индикация исчезала после просмотра, а с какого-то момента зависла эта единица.
Ну у меня и в 6ой версии (до обновления) и в 7ой версии Android на Samsung Galaxy A3 (2016) работает именно так. Может от оболочки зависит... Ну тогда просто удалите приложение с телефона и установите его заново через "Плей Маркет" - делов-то на две-три минуты. Если приложение было предустановлено в телефоне изначально, то оно не удалится совсем, а вернётся к той версии, что была при покупке телефона. Запустить себя эта версия не даст - сначала предложит обновить её через себя же до последней актуальной версии.
А вообще, попробуйте зайти в настройки смартфона - приложения - и в Faceboock очистите кеш.