Как сдать ЕГЭ-2024 по математике профильного уровня
Как правило, этот экзамен сдают выпускники, планирующие поступать на специальности инженерного, технического, физико-математического и IT-направлений.
Собрали рекомендации экспертов о том:
- на что обратить внимание при подготовке к ЕГЭ по математике профильного уровня; - на какие темы сделать упор; - что важно знать для решения заданий высокого уровня сложности.
Экзаменационная работа по математике профильного уровня сложности состоит из двух частей:
Первая часть — это 12 заданий, в которых надо указать только ответ: семь из них базового уровня сложности (№ 1–4, 6–8) и пять заданий повышенного уровня сложности (№ 5, 9–12). Ответ в каждой из 12 задач — это либо конечная десятичная дробь, либо целое число. Каждое верно решённое задание оценивается одним баллом. Проверяется первая часть ЕГЭ профильного уровня с использованием специальных аппаратно-программных средств. Максимальный балл за неё — 12 первичных баллов.
В первой части экзаменационной работы появилось ещё одно задание по планиметрии базового уровня сложности по теме «Векторы». Остальное осталось без изменений. Задания первой части сгруппированы по темам. Сначала три задания по геометрии: два по планиметрии (причём задание № 1 может касаться рассмотрения треугольников и их свойств, четырехугольников и их свойств, окружности и её элементов, вписанных и описанных окружностей, а вот задание № 2 будет только на тему «Векторы» на плоскости) и задание № 3 по стереометрии. Затем два задания по теории вероятностей и статистике (№ 4 — базового уровня сложности, № 5 — повышенного уровня), далее следует блок заданий по алгебре и началам математического анализа.
Вторая часть экзамена состоит из семи заданий с развёрнутым ответом. Это значит, что надо записать обоснованное решение, которое приводит к ответу.
Пять заданий второй части — повышенного уровня: три по алгебре, № 13, 15, 16 (уравнение, неравенство, текстовая задача с экономическим содержанием), оцениваются в два балла, (т. е. за их решение можно получить от ноля до двух баллов); два задания по геометрии, № 14, 17 (стереометрическая и планиметрическая задачи), оцениваются в три балла (от ноля до трёх баллов). При решении обеих геометрических задач надо ответить на два вопроса: в пункте «а» доказать некоторое геометрическое утверждение, теоретически обосновав все шаги решения; в пункте «б» вычислить требуемую геометрическую величину: угол, отрезок, площадь, объём. Все шаги решения пункта «б» также должны содержать обоснования: в первую очередь теоретическое подтверждение, что именно надо найти — данный угол или отрезок (если вы сначала строите угол (отрезок), то его построение также должно быть прописано и доказано), далее нужно теоретически обосновать выкладки и вычисления. Последние два задания второй части — задачи высокого уровня сложности, № 18 и 19: исследование, связанное с параметром, и задача «на числа» соответственно. Они оцениваются максимально в четыре первичных балла.
Вторая часть экзаменационной работы проверяется экспертами на основе разработанной системы критериев оценивания. Контрольные измерительные материалы содержат и справочный материал, но в него входят четыре формулы по тригонометрии. Правда, выполнив определённые преобразования, из них можно получить достаточно важные формулы для решения уравнений и преобразования выражений (частный случай — задания № 6, 7, 13, если в условии будет задано тригонометрическое выражение). Остальные формулы нужно запомнить. Таким образом, контрольные измерительные материалы ЕГЭ профильного уровня по математике содержат 19 заданий, время выполнения работы — 3 часа 55 минут. Максимальный первичный балл за всю работу — 32.
Обратите внимание: есть минимальный порог для получения аттестата о среднем общем образовании, а есть минимальный порог для поступления в государственные вузы (он выше, чем порог для получения аттестата).
Новинки в ЕГЭ-2024 по математике профильного уровня и подготовка к успешной сдаче экзамена
В экзаменационной работе появилось новое геометрическое базовое конкретное задание по теме «Векторы». В последние годы задача, касающаяся векторов на первой (геометрической) позиции не встречалась, хотя тема «Векторы» достаточно подробно изучается как в 9-х, так и в 11-х классах, и векторы имеют большое прикладное применение не только в физике, но и при решении задач по геометрии координатно-векторным способом.
Что надо уметь при работе с векторами? 1. Определять векторы и уметь откладывать вектор от произвольной точки. 2. Определять равные и противоположные векторы и уметь их откладывать от произвольной точки. 3. Определять сонаправленные и противоположно направленные векторы, коллинеарные векторы, знать признак коллинеарности векторов. 4. Строить вектор суммы векторов, вектор разности, вектор, который получается при умножении вектора на число, не равное нулю. 5. Раскладывать вектор на плоскости по двум неколлинеарным векторам. 6. Находить координаты вектора, координаты вектора суммы и разности, вектора, полученного в результате умножения вектора на число. 7. Находить длину (модуль) вектора по его координатам.
Также стоит обратить внимание на скалярное произведение двух ненулевых векторов: именно оно связывает координаты векторов с их длиной и углом между ними.
Повторяя целенаправленно эту тему, необходимо прорешать задачи после каждого параграфа учебного пособия и дополнительные задачи по теме. Далее перейти к заданиям открытого банка ФИПИ. При возникновении вопросов стоит проконсультироваться с учителем и посмотреть разбор решения заданий, стоящих на данной позиции.
Это задание базового уровня сложности, причём достаточно конкретное (оно касается только векторов на плоскости), поэтому надо постараться отработать все возможные задачи, чтобы свободно и быстро справиться с ним на экзамене.
Примеры возможных заданий на данной позиции Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Пример 4.
Пример 5.
Пример 6.
Тщательно разобрав все вопросы, связанные с векторами на плоскости, стоит изучить материал по этой теме в разделе «Стереометрия». Возможно, это позволит решить пункт «а» или «б» в задании на 14 позиции, а также в задании повышенного уровня сложности по стереометрии. Наиболее подходящими конструкциями для использования координатно-векторного метода решения являются куб, прямоугольный параллелепипед, правильная треугольная, четырехугольная, шестиугольная призма и пирамида, прямая призма или пирамида с ромбом в основании. Именно эти тела наиболее просто расположить в прямоугольной системе координат с заданными базисными векторами.
Если нужно найти длину отрезка, то можно найти длину вектора, равного по длине данному отрезку. Но для этого нужно найти его координаты и использовать далее скалярное произведение.
Если надо найти угол между прямыми, то сначала нужно найти модуль косинуса угла между векторами, лежащими на данных прямых, затем уже сам угол. Для этого предварительно надо найти координаты обоих векторов и применить далее скалярное произведение векторов. Обратите внимание на разницу угла между векторами и угла между прямыми, на которых они лежат. Угол между пересекающимися прямыми, если они не перпендикулярны, это всегда меньший угол с вершиной в точке пересечения (острый), и прямой, если прямые перпендикулярны. А вот угол между векторами — это тот угол, который образует их «направления» («пробегает» все значения от ноля до 180 градусов).
Если надо найти угол между прямой и плоскостью, то работаем с вектором, лежащим на прямой, и направляющим вектором плоскости. Здесь понадобится уравнение плоскости, а следовательно, координаты точек, задающих плоскость. В этом случае необходимо найти координаты точек, являющихся вершинами (иногда не всех вершин), и точек, заданных в условии; записать уравнение плоскости и далее действовать в соответствии с вопросом задачи. В этой ситуации надо хорошо знать решение прямоугольных треугольников, значение тригонометрических функций стандартных углов, уравнение плоскости, уметь решать систему трёх линейных уравнений, обладать хорошими вычислительными навыками.
В процессе подготовки к решению стереометрической задачи на экзамене нужно решить координатно-векторным способом несколько задач и внимательно разобрать решение. А ещё лучше — попробовать решить одну и ту же задачу двумя способами, чтобы не тратить время на экзамене на выбор способа решения.
Обратите внимание, что появление нового, пусть и простого, задания не увеличивает время, отведённое на выполнение работы, поэтому необходимо готовиться к экзамену интенсивно и качественно, чтобы сократить время на верное выполнение первой части и качественное решение заданий с развёрнутым ответом.
Для успешной подготовки рекомендуем выпускникам ознакомиться на сайте ФИПИ с кодификатором, спецификацией и демоверсией КИМ ЕГЭ по математике, а также с критериями оценивания заданий с развёрнутым ответом, которые размещены в демоверсии.
Также подготовиться к экзаменам поможет сервис «Экзамены» Электронного дневника, в который добавлены новые видеоразборы экзаменационных заданий ЕГЭ по всем предметам школьной программы (также доступны в Библиотеке МЭШ), пробные тесты с автопроверкой, тесты с открытыми вопросами, позволяющие посмотреть ход решения, и интерактивные приложения с алгоритмом выполнения заданий.
В подготовке к экзамену важна практика. Поэтому выпускники могут принять участие в независимых диагностиках в формате ЕГЭ на базе Центра независимой диагностики (ЦНД) Московского центра качества образования. Они проходят не только в соответствии с реальной процедурой ЕГЭ, но и по актуальным версиям КИМ ЕГЭ 2024 года. Участие в таких диагностиках позволит выпускникам почувствовать себя в условиях реального экзамена и оценить уровень своей подготовки. Записаться на независимые диагностики в формате ЕГЭ можно на сайте Московского центра качества образования в разделе «ЦНД». Московским выпускникам предоставляется уникальная возможность принять участие в единых городских контрольных работах. По итогам работ ведущие эксперты предметных комиссий проводят вебинары с анализом результатов и подробным разбором выполнения каждого задания, а также разбором типичных ошибок. Их можно посмотреть на сайте Регионального центра обработки информации.
Московская электронная школа (МЭШ)
Как сдать ЕГЭ-2024 по математике профильного уровня
Как правило, этот экзамен сдают выпускники, планирующие поступать на специальности инженерного, технического, физико-математического и IT-направлений.Собрали рекомендации экспертов о том:
- на что обратить внимание при подготовке к ЕГЭ по математике профильного уровня;
- на какие темы сделать упор;
- что важно знать для решения заданий высокого уровня сложности.
Экзаменационная работа по математике профильного уровня сложности состоит из двух частей:
Первая часть — это 12 заданий, в которых надо указать только ответ: семь из них базового уровня сложности (№ 1–4, 6–8) и пять заданий повышенного уровня сложности (№ 5, 9–12). Ответ в каждой из 12 задач — это либо конечная десятичная дробь, либо целое число. Каждое верно решённое задание оценивается одним баллом. Проверяется первая часть ЕГЭ профильного уровня с использованием специальных аппаратно-программных средств. Максимальный балл за неё — 12 первичных баллов.
В первой части экзаменационной работы появилось ещё одно задание по планиметрии базового уровня сложности по теме «Векторы». Остальное осталось без изменений. Задания первой части сгруппированы по темам. Сначала три задания по геометрии: два по планиметрии (причём задание № 1 может касаться рассмотрения треугольников и их свойств, четырехугольников и их свойств, окружности и её элементов, вписанных и описанных окружностей, а вот задание № 2 будет только на тему «Векторы» на плоскости) и задание № 3 по стереометрии. Затем два задания по теории вероятностей и статистике (№ 4 — базового уровня сложности, № 5 — повышенного уровня), далее следует блок заданий по алгебре и началам математического анализа.
Вторая часть экзамена состоит из семи заданий с развёрнутым ответом. Это значит, что надо записать обоснованное решение, которое приводит к ответу.
Пять заданий второй части — повышенного уровня: три по алгебре, № 13, 15, 16 (уравнение, неравенство, текстовая задача с экономическим содержанием), оцениваются в два балла, (т. е. за их решение можно получить от ноля до двух баллов); два задания по геометрии, № 14, 17 (стереометрическая и планиметрическая задачи), оцениваются в три балла (от ноля до трёх баллов). При решении обеих геометрических задач надо ответить на два вопроса: в пункте «а» доказать некоторое геометрическое утверждение, теоретически обосновав все шаги решения; в пункте «б» вычислить требуемую геометрическую величину: угол, отрезок, площадь, объём. Все шаги решения пункта «б» также должны содержать обоснования: в первую очередь теоретическое подтверждение, что именно надо найти — данный угол или отрезок (если вы сначала строите угол (отрезок), то его построение также должно быть прописано и доказано), далее нужно теоретически обосновать выкладки и вычисления. Последние два задания второй части — задачи высокого уровня сложности, № 18 и 19: исследование, связанное с параметром, и задача «на числа» соответственно. Они оцениваются максимально в четыре первичных балла.
Вторая часть экзаменационной работы проверяется экспертами на основе разработанной системы критериев оценивания. Контрольные измерительные материалы содержат и справочный материал, но в него входят четыре формулы по тригонометрии. Правда, выполнив определённые преобразования, из них можно получить достаточно важные формулы для решения уравнений и преобразования выражений (частный случай — задания № 6, 7, 13, если в условии будет задано тригонометрическое выражение). Остальные формулы нужно запомнить.
Таким образом, контрольные измерительные материалы ЕГЭ профильного уровня по математике содержат 19 заданий, время выполнения работы — 3 часа 55 минут. Максимальный первичный балл за всю работу — 32.
Обратите внимание: есть минимальный порог для получения аттестата о среднем общем образовании, а есть минимальный порог для поступления в государственные вузы (он выше, чем порог для получения аттестата).
Новинки в ЕГЭ-2024 по математике профильного уровня и подготовка к успешной сдаче экзамена
Что надо уметь при работе с векторами?
1. Определять векторы и уметь откладывать вектор от произвольной точки.
2. Определять равные и противоположные векторы и уметь их откладывать от произвольной точки.
3. Определять сонаправленные и противоположно направленные векторы, коллинеарные векторы, знать признак коллинеарности векторов.
4. Строить вектор суммы векторов, вектор разности, вектор, который получается при умножении вектора на число, не равное нулю.
5. Раскладывать вектор на плоскости по двум неколлинеарным векторам.
6. Находить координаты вектора, координаты вектора суммы и разности, вектора, полученного в результате умножения вектора на число.
7. Находить длину (модуль) вектора по его координатам.
Также стоит обратить внимание на скалярное произведение двух ненулевых векторов: именно оно связывает координаты векторов с их длиной и углом между ними.
Повторяя целенаправленно эту тему, необходимо прорешать задачи после каждого параграфа учебного пособия и дополнительные задачи по теме. Далее перейти к заданиям открытого банка ФИПИ. При возникновении вопросов стоит проконсультироваться с учителем и посмотреть разбор решения заданий, стоящих на данной позиции.
Это задание базового уровня сложности, причём достаточно конкретное (оно касается только векторов на плоскости), поэтому надо постараться отработать все возможные задачи, чтобы свободно и быстро справиться с ним на экзамене.
Примеры возможных заданий на данной позиции
Пример 1.
Пример 5.
Если нужно найти длину отрезка, то можно найти длину вектора, равного по длине данному отрезку. Но для этого нужно найти его координаты и использовать далее скалярное произведение.
Если надо найти угол между прямыми, то сначала нужно найти модуль косинуса угла между векторами, лежащими на данных прямых, затем уже сам угол. Для этого предварительно надо найти координаты обоих векторов и применить далее скалярное произведение векторов. Обратите внимание на разницу угла между векторами и угла между прямыми, на которых они лежат. Угол между пересекающимися прямыми, если они не перпендикулярны, это всегда меньший угол с вершиной в точке пересечения (острый), и прямой, если прямые перпендикулярны. А вот угол между векторами — это тот угол, который образует их «направления» («пробегает» все значения от ноля до 180 градусов).
Если надо найти угол между прямой и плоскостью, то работаем с вектором, лежащим на прямой, и направляющим вектором плоскости. Здесь понадобится уравнение плоскости, а следовательно, координаты точек, задающих плоскость. В этом случае необходимо найти координаты точек, являющихся вершинами (иногда не всех вершин), и точек, заданных в условии; записать уравнение плоскости и далее действовать в соответствии с вопросом задачи. В этой ситуации надо хорошо знать решение прямоугольных треугольников, значение тригонометрических функций стандартных углов, уравнение плоскости, уметь решать систему трёх линейных уравнений, обладать хорошими вычислительными навыками.
В процессе подготовки к решению стереометрической задачи на экзамене нужно решить координатно-векторным способом несколько задач и внимательно разобрать решение. А ещё лучше — попробовать решить одну и ту же задачу двумя способами, чтобы не тратить время на экзамене на выбор способа решения.
Обратите внимание, что появление нового, пусть и простого, задания не увеличивает время, отведённое на выполнение работы, поэтому необходимо готовиться к экзамену интенсивно и качественно, чтобы сократить время на верное выполнение первой части и качественное решение заданий с развёрнутым ответом.
Дополнительную информацию по заданиям можно найти в открытом банке заданий ЕГЭ на сайте ФИПИ. Полезно будет поработать с навигатором самостоятельной подготовки к ЕГЭ. Помогут выпускникам видеоматериалы о ЕГЭ, в том числе вебинары, посвящённые особенностям ЕГЭ 2024 года. Их можно найти на сайте Московского центра качества образования, Регионального центра обработки информации, в группе Московского центра качества образования социальной сети «ВКонтакте» и на сервисе Rutube.
Также подготовиться к экзаменам поможет сервис «Экзамены» Электронного дневника, в который добавлены новые видеоразборы экзаменационных заданий ЕГЭ по всем предметам школьной программы (также доступны в Библиотеке МЭШ), пробные тесты с автопроверкой, тесты с открытыми вопросами, позволяющие посмотреть ход решения, и интерактивные приложения с алгоритмом выполнения заданий.
Подробнее:
- в веб-версии сервиса;
- в мобильном приложении «Дневник МЭШ».
В подготовке к экзамену важна практика. Поэтому выпускники могут принять участие в независимых диагностиках в формате ЕГЭ на базе Центра независимой диагностики (ЦНД) Московского центра качества образования. Они проходят не только в соответствии с реальной процедурой ЕГЭ, но и по актуальным версиям КИМ ЕГЭ 2024 года. Участие в таких диагностиках позволит выпускникам почувствовать себя в условиях реального экзамена и оценить уровень своей подготовки. Записаться на независимые диагностики в формате ЕГЭ можно на сайте Московского центра качества образования в разделе «ЦНД».
Московским выпускникам предоставляется уникальная возможность принять участие в единых городских контрольных работах. По итогам работ ведущие эксперты предметных комиссий проводят вебинары с анализом результатов и подробным разбором выполнения каждого задания, а также разбором типичных ошибок. Их можно посмотреть на сайте Регионального центра обработки информации.
#мэш #мэш_экзамены