Как свидетельствуют словари, стилистически нейтральный, общеупотребительный вариант - делать прививку.

Ставить прививку - профессионализм, характерный для речи медиков. То же самое относится и к слову укол: общеупотребительно - делать укол. Ставить укол - профессионализм. Иначе обстоит дело с капельницей, которую не делают, а ставят.