У древних греков привычка и способы что-либо считать сильно зависели от органов восприятия. "3 в квадрате будет 9", "3 в кубе будет 27". А вы не задумывались, почему мы называем число, умноженое на само себя квадратом, а умноженое на само себя еще раз--кубом? ПОТОМУ ЧТО ТАК ПРЕДСТАВЛЯЛИ ИХ ГРЕКИ. У них было, если можно так выразиться, ЗРИТЕЛЬНОЕ МЫШЛЕНИЕ. Недаром в греческом языке "видеть" и "знать" были РОДСТВЕННЫЕ СЛОВА (как в русском--"видеть" и "ведать"). Оттого и был у греков такой сильный страх перед бесконечностью, ЧТО ЕЕ НИКАК НЕЛЬЗЯ ВООБРАЗИТЬ ЗРИТЕЛЬНО. Нарисуйте в вашей тетради число 3 в виде трех точек подряд, как на кости домино. И подумайте: а как теперь удобнее всего нарисовать число 9? ОЧЕВИДНО--ПРИРИСОВАТЬ НАД НИМ ЕЩЕ ОДНО ТАКОЕ ТРОЕТОЧИЕ, А ПОТОМ--ЕЩЕ ОДНО. Получится квадрат из 9 точек со стороной 3. ВОТ ТАК "ВИДЕЛИ" СВОИ ЧИСЛА ДРЕВНИЕ ГРЕКИ: КАК ВЫЛОЖЕНЫЕ ИЗ КАМЕШКОВ. Так что кроме "квадратных" чисел у них были и "продолговатые", а кроме "кубических"--и другие "обьемные". Например, число 6 было КАК БЫ ПРОДОЛГОВАТЫМ--как бы прямоугольником, у которого длина 3, а ширина 2. А число 30--обьемным: параллелипипедом, у которого длина 3, ширина 2, а высота 5. (Почему "2 в квадрате--4--теперь понятно, по почему "2--квадратный корень из 4"? Слово корень ВВЕЛИ В МАТЕМАТИКУ УЖЕ НЕ ГРЕКИ, А АРАБЫ. Они предпочитали представлять мир НЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ, КАК ГРЕКИ, А ОРГАНИЧЕСКИМ; и в этом мире из числа 2, как растение из корня, ВЫРАСТАЕТ ЧИСЛО 4, ПОТОМ 8, ПОТОМ 16, ПОТОМ ВСЕ ДРУГИЕ СТЕПЕНИ). При греческом зрительном воображении (об этом и было упомянуто в самом начале статьи--прим. мое) ПРИЯТНО БЫЛО ПЕРЕСТРАИВАТЬ ЧИСЛА ИЗ ФИГУРЫ В ФИГУРУ: например, представлять число 12 то как длинный узкий прямоугольник 6 на 2, то как короткий и широкий 3 на 4. Поэтому греки ОБРАЩАЛИ БОЛЬШОЕ ВНИМАНИЕ НА НАБОР ДЕЛИТЕЛЕЙ ЧИСЛА. Например, если число равнялось сумме собственных делителей, ОНО НАЗЫВАЛОСЬ "СОВЕРШЕННЫМ". Греки знали четыре таких числа: 6, 28, 496 и 8128 (если хотите убедитесь: 6=1+2+3=1*2*3). А если из двух чисел каждое равнялось сумме делителей другого, эти числа назывались "дружащими": например, 220 и 284 (можете проверить: 1+2+4+71+142 и 1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110). Когда Пифагора спросили, что такое друг, он ответил: "Второй я"--и добавил: "Это как 220 и 284". Неудобства начинались при обращении с дробями: ВЕДЬ ТОЧКУ НЕ РАЗДРОБИШЬ НА ЧАСТИ. Поэтому греки предпочитали иметь дело НЕ С ДРОБЯМИ, А С ОТНОШЕНИЯМИ. Говорили не "седьмая часть единицы", а "одна единица от 7". ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ ОНИ СОРТИРОВАЛИ С БОЛЬШОЙ ЛЮБОВЬЮ. Мы говорим: "Число 20 кратно числу 5, т.е. делится на него. А грек мог вдобавок сказать: "Число 20 кратно числу 16", т.е. ДЕЛИТСЯ НА РАЗНОСТЬ МЕЖДУ НИМИ. Вы знаете: число 4--это среднее арифметическое чисел 2 и 6, т.е. ИХ СУММА, ДЕЛЕННАЯ ПОПОЛАМ. Некоторые может быть знают: число 4--это СРЕДНЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЧИСЕЛ 2 и 8, т.е. квадратный корень из их произведения. А грек вдобавок знал: число 4--это "среднее гармоническое" чисел 3 и 6, т.е. ИХ УДВОЕННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ДЕЛЕННОЕ НА ИХ СУММУ. Когда вы начинали учить алгебру, то заучивали такие формулы, как: (a+b) в квадрате=а в квадрате+2ab+b в квадрате. (a--b) в квадрате=а в квадрате--2ab+b в квадрате. а в квадрате--b в квадрате= (a+b)(a--b). (ПРИМЕЧАНИЕ: на клавиатуре компьютера невозможно указывать числа 2 или 3 сверху чисел как обозначения квадрата или куба, поэтому они УКАЗЫВАЮТСЯ СЛОВАМИ) Вы помните как они выводились? ЭТО БЫЛО ДОВОЛЬНО ГРОМОЗДКО. А грек со своей привычкой к наглядности доказывал их НЕ ВЫЧИСЛЕНИЕМ, А ЧЕРТЕЖОМ: чертил отрезок А, отрезок В, строил на них квадраты и показывал: "Вот!" Посмотрите и убедитесь. Такие геометрические доказательства ВЫРУЧАЛИ ГРЕКОВ В ИХ СТРАХЕ ПЕРЕД БЕСКОНЕЧНОСТЬЮ. Вы смогли бы, например, извлечь точный корень из числа 2? Нет, не смогли бы: ПОЛУЧИЛИ БЫ БЕСКОНЕЧНУЮ ДРОБЬ. А греческий математик поступал просто: ЧЕРТИЛ ОТРЕЗОК ДЛИНОЙ В ДАННОЕ ЧИСЛО, строил вокруг квадрат, в котором он был бы диагональю, показывал на сторону этого квадрата и говорил: "Вот!" В современной математике такие величины, никогда не вычисляемые до конца, называются "иррациональными". ГРЕКИ НАЗЫВАЛИ ИХ НЕВЫРАЗИМЫМИ. "Невыразимым" было отношение диагонали и стороны в квадрате--1, 41421...; "невыразимым" было и отношение длины окружности к диаметру в круге, знаменитое число "пи"--3,14159...(пи--это первая буква греческого слова "перефирия", окружность). Это число изобразить было труднее, и греческие математики в борьбе с бесконечностью век за веком ломали голову над "квадратурой круга": как по данному диаметру круга с помощью только циркуля и линейки построить квадрат, РАВНОВЕЛИКИЙ ЭТОМУ КРУГУ? Можно спросить: А ПОЧЕМУ, СОБСТВЕННО, ТОЛЬКО С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ? Не попробовать ли изобрести новый прибор, посложнее, который позволил бы решить эту задачу? Но грек нам гордо ответил бы: "Возиться с приборами--это дело раба, привычного к ручному труду, а свободному человеку приличествует полагаться лишь на силу ума". Вот как, оказывается,рабовладельческий образ мысли проявляется даже в такой отвлеченной науке, как математика. (из книги М.Л. ГАСПАРОВА "Занимательная Греция")
Эллинизмос
:Дмитрий Бойко
"НАГЛЯДНАЯ" МАТЕМАТИКА.
У древних греков привычка и способы что-либо считать сильно зависели от органов восприятия.
"3 в квадрате будет 9", "3 в кубе будет 27". А вы не задумывались, почему мы называем число, умноженое на само себя квадратом, а умноженое на само себя еще раз--кубом? ПОТОМУ ЧТО ТАК ПРЕДСТАВЛЯЛИ ИХ ГРЕКИ. У них было, если можно так выразиться, ЗРИТЕЛЬНОЕ МЫШЛЕНИЕ. Недаром в греческом языке "видеть" и "знать" были РОДСТВЕННЫЕ СЛОВА (как в русском--"видеть" и "ведать"). Оттого и был у греков такой сильный страх перед бесконечностью, ЧТО ЕЕ НИКАК НЕЛЬЗЯ ВООБРАЗИТЬ ЗРИТЕЛЬНО.
Нарисуйте в вашей тетради число 3 в виде трех точек подряд, как на кости домино. И подумайте: а как теперь удобнее всего нарисовать число 9? ОЧЕВИДНО--ПРИРИСОВАТЬ НАД НИМ ЕЩЕ ОДНО ТАКОЕ ТРОЕТОЧИЕ, А ПОТОМ--ЕЩЕ ОДНО. Получится квадрат из 9 точек со стороной 3. ВОТ ТАК "ВИДЕЛИ" СВОИ ЧИСЛА ДРЕВНИЕ ГРЕКИ: КАК ВЫЛОЖЕНЫЕ ИЗ КАМЕШКОВ. Так что кроме "квадратных" чисел у них были и "продолговатые", а кроме "кубических"--и другие "обьемные". Например, число 6 было КАК БЫ ПРОДОЛГОВАТЫМ--как бы прямоугольником, у которого длина 3, а ширина 2. А число 30--обьемным: параллелипипедом, у которого длина 3, ширина 2, а высота 5.
(Почему "2 в квадрате--4--теперь понятно, по почему "2--квадратный корень из 4"? Слово корень ВВЕЛИ В МАТЕМАТИКУ УЖЕ НЕ ГРЕКИ, А АРАБЫ. Они предпочитали представлять мир НЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ, КАК ГРЕКИ, А ОРГАНИЧЕСКИМ; и в этом мире из числа 2, как растение из корня, ВЫРАСТАЕТ ЧИСЛО 4, ПОТОМ 8, ПОТОМ 16, ПОТОМ ВСЕ ДРУГИЕ СТЕПЕНИ).
При греческом зрительном воображении (об этом и было упомянуто в самом начале статьи--прим. мое) ПРИЯТНО БЫЛО ПЕРЕСТРАИВАТЬ ЧИСЛА ИЗ ФИГУРЫ В ФИГУРУ: например, представлять число 12 то как длинный узкий прямоугольник 6 на 2, то как короткий и широкий 3 на 4. Поэтому греки ОБРАЩАЛИ БОЛЬШОЕ ВНИМАНИЕ НА НАБОР ДЕЛИТЕЛЕЙ ЧИСЛА. Например, если число равнялось сумме собственных делителей, ОНО НАЗЫВАЛОСЬ "СОВЕРШЕННЫМ". Греки знали четыре таких числа: 6, 28, 496 и 8128 (если хотите убедитесь: 6=1+2+3=1*2*3). А если из двух чисел каждое равнялось сумме делителей другого, эти числа назывались "дружащими": например, 220 и 284 (можете проверить: 1+2+4+71+142 и 1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110). Когда Пифагора спросили, что такое друг, он ответил: "Второй я"--и добавил: "Это как 220 и 284".
Неудобства начинались при обращении с дробями: ВЕДЬ ТОЧКУ НЕ РАЗДРОБИШЬ НА ЧАСТИ. Поэтому греки предпочитали иметь дело НЕ С ДРОБЯМИ, А С ОТНОШЕНИЯМИ. Говорили не "седьмая часть единицы", а "одна единица от 7". ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ ОНИ СОРТИРОВАЛИ С БОЛЬШОЙ ЛЮБОВЬЮ. Мы говорим: "Число 20 кратно числу 5, т.е. делится на него. А грек мог вдобавок сказать: "Число 20 кратно числу 16", т.е. ДЕЛИТСЯ НА РАЗНОСТЬ МЕЖДУ НИМИ. Вы знаете: число 4--это среднее арифметическое чисел 2 и 6, т.е. ИХ СУММА, ДЕЛЕННАЯ ПОПОЛАМ. Некоторые может быть знают: число 4--это СРЕДНЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЧИСЕЛ 2 и 8, т.е. квадратный корень из их произведения. А грек вдобавок знал: число 4--это "среднее гармоническое" чисел 3 и 6, т.е. ИХ УДВОЕННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ДЕЛЕННОЕ НА ИХ СУММУ.
Когда вы начинали учить алгебру, то заучивали такие формулы, как:
(a+b) в квадрате=а в квадрате+2ab+b в квадрате.
(a--b) в квадрате=а в квадрате--2ab+b в квадрате.
а в квадрате--b в квадрате= (a+b)(a--b).
(ПРИМЕЧАНИЕ: на клавиатуре компьютера невозможно указывать числа 2 или 3 сверху чисел как обозначения квадрата или куба, поэтому они УКАЗЫВАЮТСЯ СЛОВАМИ)
Вы помните как они выводились? ЭТО БЫЛО ДОВОЛЬНО ГРОМОЗДКО. А грек со своей привычкой к наглядности доказывал их НЕ ВЫЧИСЛЕНИЕМ, А ЧЕРТЕЖОМ: чертил отрезок А, отрезок В, строил на них квадраты и показывал: "Вот!" Посмотрите и убедитесь.
Такие геометрические доказательства ВЫРУЧАЛИ ГРЕКОВ В ИХ СТРАХЕ ПЕРЕД БЕСКОНЕЧНОСТЬЮ. Вы смогли бы, например, извлечь точный корень из числа 2? Нет, не смогли бы: ПОЛУЧИЛИ БЫ БЕСКОНЕЧНУЮ ДРОБЬ. А греческий математик поступал просто: ЧЕРТИЛ ОТРЕЗОК ДЛИНОЙ В ДАННОЕ ЧИСЛО, строил вокруг квадрат, в котором он был бы диагональю, показывал на сторону этого квадрата и говорил: "Вот!"
В современной математике такие величины, никогда не вычисляемые до конца, называются "иррациональными". ГРЕКИ НАЗЫВАЛИ ИХ НЕВЫРАЗИМЫМИ. "Невыразимым" было отношение диагонали и стороны в квадрате--1, 41421...; "невыразимым" было и отношение длины окружности к диаметру в круге, знаменитое число "пи"--3,14159...(пи--это первая буква греческого слова "перефирия", окружность). Это число изобразить было труднее, и греческие математики в борьбе с бесконечностью век за веком ломали голову над "квадратурой круга": как по данному диаметру круга с помощью только циркуля и линейки построить квадрат, РАВНОВЕЛИКИЙ ЭТОМУ КРУГУ?
Можно спросить: А ПОЧЕМУ, СОБСТВЕННО, ТОЛЬКО С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ? Не попробовать ли изобрести новый прибор, посложнее, который позволил бы решить эту задачу? Но грек нам гордо ответил бы: "Возиться с приборами--это дело раба, привычного к ручному труду, а свободному человеку приличествует полагаться лишь на силу ума".
Вот как, оказывается,рабовладельческий образ мысли проявляется даже в такой отвлеченной науке, как математика.
(из книги М.Л. ГАСПАРОВА "Занимательная Греция")