Александр Долгих

14 авг 2024

Что такое числа Фибоначчи? Где их можно встретить в природе и технике

Число Фибоначчи по праву называют «числом Бога», «божественной пропорцией» или «золотым сечением», ведь в природе оно встречается невероятно часто. Числовой ряд Фибоначчи также успешно используется в механике, музыке, криптографии и программировании.
«Витрувианский человек». Идеальные пропорции человеческого тела. Изображение создано Леонардо да Винчи на основе расчётов, связанных с числом Фибоначчи.
«Витрувианский человек». Идеальные пропорции человеческого тела. Изображение создано Леонардо да Винчи на основе расчётов, связанных с числом Фибоначчи.
Впервые явление, которое позднее назвали «числом Фибоначчи», описал в 1202 году Леонардо из Пизы по прозвищу Боначчи. Однако известно, что последовательность Фибоначчи использовалась ещё в Древней Индии в особом виде стихосложения.

Сам числовой ряд Фибоначчи выглядит следующим образом:
Первые 30 чисел из последовательности Фибоначчи
Первые 30 чисел из последовательности Фибоначчи
Получается он так. Первые два числа в нём ― 0 и 1, но каждое из последующих чисел ― равно сумме двух предыдущих. То есть третье число ― это сумма первых двух, то есть ноля и единицы. Четвёртое число ― сумма второго и третьего, то есть 1+1=2; пятое число ― это сумма третьего и четвёртого, то есть 1+2=3 и так далее.
«Золотая спираль», наглядно иллюстрирующая последовательность чисел Фибоначчи. Размеры каждого квадрата, в который для наглядности вписана дуга, рассчитаны по формуле последовательности чисел Фибоначчи.
«Золотая спираль», наглядно иллюстрирующая последовательность чисел Фибоначчи. Размеры каждого квадрата, в который для наглядности вписана дуга, рассчитаны по формуле последовательности чисел Фибоначчи.
Научный труд Леонардо Пизанского под названием «Liber Abaci», то есть «Книга абака» («абак» ― это особая счётная доска, но в книге под абаком подразумевается устный счёт) пролил свет на практическое применение этого числового ряда. Книга посвящена десятеричной арифметике, а написана большей частью для торговцев, да и вообще всех, кого интересуют практические вычисления. Издание сильно повлияло на развитие научного мышления Европы и всего мира.
Фрагмент «Книги абака», посвящённой десятеричному счёту
Фрагмент «Книги абака», посвящённой десятеричному счёту
В числе прочего, для демонстрации использования числового ряда, автор описывает «идеальную» популяцию кроликов, которая размножается по определённой схеме, а особи в ней никогда не умирают. Схема такова: дана пара кроликов, то есть самка и самец, которые, спустя месяц после рождения, спариваются, а ещё спустя месяц ― рождают новую пару и спариваются вновь. Новая пара, спустя месяц, также спаривается, а спустя ещё месяц ― также рождает пару и спаривается вновь. Все следующие пары действуют по аналогичной схеме. Выходит, что в конце любого месяца число пар кроликов выйдет таким же, как в прошлом месяце, плюс число новорожденных пар, которых к указанному месяцу получится столько же, сколько пар имелось ровно два месяца назад. Данная задача, по всей видимости, одна из первых смоделировала экспоненциальный рост популяции.
Иллюстрация к задаче о кроликах
Иллюстрация к задаче о кроликах

Числа Фибоначчи и «золотое сечение»

Золотое сечение, уже давно признанное чуть ли не фундаментальной «основой принципов красоты и гармонии», также напрямую связано с числами Фибоначчи. Чтобы понять, о чём речь, посмотрим на соотношение последовательных чисел ряда Фибоначчи.
Соотношение последовательных чисел ряда Фибоначчи примерно равно 1,62
Соотношение последовательных чисел ряда Фибоначчи примерно равно 1,62
На изображении заметно, что примерное соотношение всех членов ряда, за исключением нескольких первых, приблизительно равняется 1,62. Даже если продолжить ряд дальше, соотношение останется практически без изменений. Например, соотношение 29-го и 30-го членов ряда 832040/514229 = 1,61803

Эта математическая закономерность и названа «золотым сечением». Если взять прямоугольник, чья ширина и длина равны соседним числам Фибоначчи, разбить его на две части с соотношением 1 к 1,62, а каждый меньший прямоугольник продолжить разбивать по той же схеме, выйдет подобная спирали система, начало у которой ноль, а верхний предел ― отсутствует.

Где встречаются числа Фибоначчи?

Давно доказано, что числа Фибоначчи в природе ― это не миф и не подтасовка фактов. Так, спираль Фибоначчи можно увидеть на раковинах морских и сухопутных улиток: каждый новый, то есть больший, «виток» у таких раковин соотносится с предыдущими как сумма двух предыдущих витков.
Коллаж, посвящённый спиралям Фибоначчи
Коллаж, посвящённый спиралям Фибоначчи
«Двойные» спирали Фибоначчи можно различить на цветках подсолнуха, еловых и сосновых шишках, плодах ананаса и даже паучьей паутине. Расположение листьев у многих растений также можно описать первыми числами последовательности Фибоначчи. Даже некоторые галактики имеют форму, напоминающую характерную спираль.

Художники и скульпторы используют принципы золотого сечения с давних времён и по сей день. Объекты на многих известных картинах также размещены по принципам золотого сечения. По принципам соотношения 1 к 1,62 строится человеческое лицо и фигура (на высоте, примерно соответствующей единице, у человека находится пупок), многие модели одежды, детали мебели. Существуют концепции размещения предметов в интерьере (например, размер дивана соотносится с габаритами шкафа как 1 к 1,62, высота стены в комнате визуально делится на 1,62, а картины размещают на условном уровне в единицу).
Пример-сравнение изображения лица человека по золотому сечению и без него
Пример-сравнение изображения лица человека по золотому сечению и без него
Многие концепции, связанные с генетикой и наследственностью, в биологии рассчитываются при помощи последовательности Фибоначчи.

Известно, что даже пирамиды строились на принципах, схожих с числовым рядом Фибоначчи.

В соответствии с числами Фибоначчи создаются многие музыкальные и поэтические произведения.
Схема применения ряда Фибоначчи в музыке
Схема применения ряда Фибоначчи в музыке
Числа Фибоначчи нашли самое широкое применение в программировании (JavaScript, Python и другие). Теория кодирования предполагает использование «кодов Фибоначчи», основанных на иррациональных числах. Средневековые шифровальщики древних писем рассчитывали свои тайные шифры, исходя из ряда Фибоначчи. Позднее подобные схемы переняли и современные кодеры.

В общем, классные числа. Прошу любить и жаловать.
Александр Долгих
Видео с интересными задачками по физике, математике и геометрии. Статьи и посты по истории, астрономии, физике, русскому языку, естествознанию, биологии. С предложениями пишите на School.Dolgikh@yandex.ru Регистрация в РКН https://gosuslugi.ru/snet/673eeeaf9d804a279bcf1be7
31K участников
•

Комментарии