Теперь, какие есть все возможные групповые исходы, когда у лучшей команды 5 очков или меньше?.
В этом случае лучшая команда соответственно имеет не более одной победы на "рыло". С пятью очками у фаворита поражений не будет. Но будет только лишь одна победа и две ничьи. Хотя это гораздо менее вероятно, но лучшая команда может набрать всего 4 или даже 3 очка (когда одни ничьи). Начнем с последней ситуации, поскольку она, безусловно, самая простая, но, к слову, и самая редкая. Такое однажды могло случиться на ЧМ-1990 в группе с Англичанами и Нидерландами.Команда с 3 очками может финишировать первой или второй в группе. В этом случае лучшая команда с 3 очками должна иметь соответенно 3 ничьи. Команда, набравшая три очка при победе и двух поражениях, не может финишировать первой в своей группе. По сути, этой команде вообще невозможно пройти в плей-офф. Единственный вариант прохождения команды с тремя очками - это чтобы именно все 6 матчей в группе завершились вничью. В этом случае у каждой команды по 3 очка. Если по всем дополнительным признакам (разница мячей, фэйр-плей и т. д.) возникнут вопросы по поводу первого или второго мест, то вопрос придется решать путем дополнительной жеребьевки! Шансы на 6 ничьих в группе, однако, крайне и крайне малы - примерно 0,14%.Ситуация, когда у лучшей команды 4 очка, также довольно проста. У этой команды будет 1 победа, 1 поражение и 1 ничья. Единственно возможные исходы по очкам - 4444 и 4443. Если итоговый результат - 4444, то у каждой команды будет 1 победа, 1 поражение и 1 ничья. Такое однажды случилось на ЧМ -1994 в группе с Италией и Мексикой. Это та же ситуация, что и 3333, за исключением того, что вероятность жеребьевки намного меньше (если бы, конечно, вовсе не учитывать дополнительные показатели, что мы не можем сделать, так как не имеем конкретного примера, вернее умышленно не выбираем таковые). Поскольку некоторые команды могут выигрывать или проигрывать свои игры с большей разницей мячей, а другие – с меньшей, то, соответственно, существует большая вероятность, что разница голов и (или) общее количество голов определят, какие команды пройдут в раунд на выбывание - так и случилось на ЧМ-1994 в группе с Италией. Если окончательный расклад составляет 4443, одна команда сыграла вничью во всех трех играх, а остальные три команды одержали одну победу и одно поражение друг против друга.Самая сложная ситуация, когда у сильнейшей команды 5 очков. В этой ситуации есть 9 возможных исходов.A 5 5 5 5 5 5 5 5 5B 5 5 5 5 5 4 4 4 3C 5 4 3 3 2 4 4 3 3D 0 1 2 1 2 3 2 2 2 Обратите внимание на большое количество ситуаций, когда оба верхних команды имеют 5 очков. Команды, набравшие 4 очка, имеют 50% шанс пройти в раунд на выбывание. Обратите внимание, что команда, набравшая всего 3 очка, также может пройти, тогда как это невозможно, когда у лучшей команды 6 очков.Если теперь суммировать информацию из всех трех частей этой серии, мы обнаружим, что существует 40 различных возможных уникальных результатов и 729 возможных окончательных результатов для группового этапа. Каждая из 40 возможных итоговых оценок была определена и обсуждена ранее. Откуда взялось число 729? Каждый групповой этап состоит из 6 матчей, и каждый матч может иметь 3 возможных исхода (победа, поражение и ничья). Следовательно, общее количество различных исходов равно 36 или 729.Это означает, что каждый из 40 уникальных результатов происходит более одного раза, при этом разные команды занимают 1-е, 2-е, 3-е и 4-е места. И каждый результат не происходит одинаковое количество раз. В таблице ниже показана частота, с которой происходит каждый из 40 исходов, и она организована от событий с наименьшей частотой к результатам с самой высокой. Комбинация 3333 является самым редким результатом и встречается только 1 раз из 729. Удивительно, но результат с наибольшей вероятностью — 7441, за которым следует 6443. Имейте в виду, что все эти результаты основаны на предположении, что для каждого совпадения существует 1 /3 шансов на победу, 1/3 на ничью и 1/3 на проигрыш. Поскольку некоторые команды сильнее других, это предположение, очевидно, справедливо не для всех матчей.ОценкаA 3 9 5 7 4 9 6 4 9 9B 3 2 5 7 4 3 6 4 6 4C 3 2 5 1 4 3 6 4 1 4D 3 2 0 1 4 3 0 3 1 0Частота 1 4 4 6 6 8 8 8 12 12Процент 0,14% 0,55% 0,55% 0,82% 0,82% 1,10% 1,10% 1,10% 1,65% 1,65% ОценкаA 7 7 6 6 5 5 5 5 9 9B 7 3 6 5 5 5 5 3 6 4C 3 2 3 2 3 3 2 3 3 3D 0 2 3 2 2 1 2 2 0 1Частота 12 12 12 12 12 12 12 12 24 24Процент 1,65% 1,65% 1,65% 1,65% 1,65% 1,65% 1,65% 1,65% 3,29% 3,29%ОценкаA 9 7 7 7 7 7 7 5 7 7B 4 6 5 4 4 6 5 4 6 5C 2 3 3 3 3 2 2 4 4 4D 1 1 1 3 2 1 1 3 0 0Частота 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24Процент 3,29% 3,29% 3,29% 3,29% 3,29% 3,29% 3,29% 3,29% 3,29% 3,29%ОценкаА 7 7 6 6 5 5 6 5 6 7B 4 4 6 5 5 4 4 4 4 4C 3 2 4 4 4 3 4 4 4 4D 1 2 1 1 1 2 2 2 3 1Частота 24 24 24 24 24 24 24 24 36 48Процент 3,29% 3,29% 3,29 % 3,29% 3,29% 3,29% 3,29% 3,29% 4,94% 6,58%В следующей таблице показан процент всех исходов в зависимости от очков, набранных командой с наибольшим количеством очков в группе.Самый высокий проценточков Шанс числа9 99 13,6%7 300 41,2%6 152 20,9%5 157 21,5% 4 20 2,7%3 1 0,1%2 0 0,0%1 0 0,0%0 0 0,0% 729100,0%наиболее вероятная высшая оценка — 7, за ней следует 5, а затем 6. Наименее вероятные высшие оценки — 3 и 4.Теперь следующий важный вопрос – вероятность перехода в следующий раунд при определенном количестве очков. Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно изучить все 729 возможных результатов и посмотреть, сколько раз встречается каждое общее количество очков и сколько раз этого общего количества очков достаточно для перехода к следующему раунду.Общее количество возможных «баллов» равно 729 исходам, умноженным на 4 балла для каждого исхода, в результате чего получается 2916 итоговых исходов. В таблице ниже показано, сколько раз каждая сумма очков встречается в этих 2916 исходах.9 7 6 5 4 3 Общееколичество9 108 0 0 0 0 0 1087 0 336 0 0 0 0 3366 36 72 192 0 0 0 3005 0 72 36 216 0 0 3244 72 240 168 144 48 0 6 723 72 168 60 96 8 4 408 2 36 144 4896 0 0 324 172 180 48 36 0 0 3360 36 60 8 4 0 0 108Итого 432 1272 560 592 56 4 2,916 В этой таблице в левом столбце показано каждая из возможных сумм баллов. В заголовках вверху указано количество комбинаций, в которых каждое из чисел имеет наивысший возможный балл. Столбец, помеченный цифрой 9, показывает общее количество вхождений каждой суммы очков для тех комбинаций, где наивысший балл равен 9, и так далее. Безусловно, наиболее распространенное количество точек — 4, и оно встречается 672 раза из 2916 случаев, или 23% случаев. Меньше всего встречаются числа 9 и ноль, каждое из которых встречается всего по 108 раз. Возможно, это удивительно, но единицы встречаются чаще, чем двойки, а семерки чаще, чем шестерки.Теперь для заданного количества очков мы смотрим на вероятность того, что команда выйдет в раунд на выбывание. Результаты показаны в таблице ниже.9 7 6 5 4 3 Общееколичество9 100,0% 100,0%7 100,0% 100,0%6 100,0% 100,0% 95,8% 97,3%5 100,0% 100,0% 98,1% 98,8%4 83,3% 60,0% 35,7% 50,0% 58,3% 54,2%3 11,1% 7,1% 0,0% 12,5% 0,0% 50,0% 8,3%2 11,1% 0,0% 0,0% 0,0% 1,2% 1 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 00,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%Итого 50,0% 50,0% 50,0% 50,0% 50,0% 50,0% 50,0%Еще раз каждое количество очков отображается в левом столбце, а числа вверху представляют собой лучший результат любой команды в группе. Поскольку в группе 4 команды и две лучшие проходят дальше, общий процент перехода в следующий раунд должен составлять 50%. Таблица показывает, что:• Команды с очками 9 и 7 должны двигаться дальше.• Команда с 6 очками должна быть очень неудачливой, чтобы не прогрессировать. Это может произойти только тогда, когда итоговый счет равен 6660.• Аналогично, команды со счетом 5 почти всегда прогрессируют. Только итоговый результат 5550 может помешать команде с 5 очками продвинуться вперед.• Команды, набравшие 4 очка, будут прогрессировать чуть более чем в 50% случаев, но этот процент варьируется в зависимости от лучшего результата в группе. Если у лучшей команды 9 очков, вероятность прогресса превышает 83%, а если у лучшей команды 6 очков, изменение прогресса составляет всего 35,7%• Команды с тремя очками будут двигаться дальше менее чем в 10% случаев и команды с 2 очками очень редко прогрессируют. Это может произойти только в том случае, если итоговый результат в группе составит 9222.На этом мы завершаем анализ группового этапа чемпионата мира. Объяснение того, как рассчитать количество совпадений для каждого возможного результата, выходит за рамки этой статьи, как и то, как вычислять результаты, когда вероятности выигрыша, проигрыша и ничьи не равны. Надеюсь, это добавит вам удовольствия от математических загадок группового этапа Кубка мира.
Зубаеров Владислав Владимирович - 12.09.2023
Теперь, какие есть все возможные групповые исходы, когда у лучшей команды 5 очков или меньше?.
В этом случае лучшая команда соответственно имеет не более одной победы на "рыло". С пятью очками у фаворита поражений не будет. Но будет только лишь одна победа и две ничьи. Хотя это гораздо менее вероятно, но лучшая команда может набрать всего 4 или даже 3 очка (когда одни ничьи). Начнем с последней ситуации, поскольку она, безусловно, самая простая, но, к слову, и самая редкая. Такое однажды могло случиться на ЧМ-1990 в группе с Англичанами и Нидерландами.Команда с 3 очками может финишировать первой или второй в группе. В этом случае лучшая команда с 3 очками должна иметь соответенно 3 ничьи. Команда, набравшая три очка при победе и двух поражениях, не может финишировать первой в своей группе. По сути, этой команде вообще невозможно пройти в плей-офф. Единственный вариант прохождения команды с тремя очками - это чтобы именно все 6 матчей в группе завершились вничью. В этом случае у каждой команды по 3 очка. Если по всем дополнительным признакам (разница мячей, фэйр-плей и т. д.) возникнут вопросы по поводу первого или второго мест, то вопрос придется решать путем дополнительной жеребьевки! Шансы на 6 ничьих в группе, однако, крайне и крайне малы - примерно 0,14%.Ситуация, когда у лучшей команды 4 очка, также довольно проста. У этой команды будет 1 победа, 1 поражение и 1 ничья. Единственно возможные исходы по очкам - 4444 и 4443. Если итоговый результат - 4444, то у каждой команды будет 1 победа, 1 поражение и 1 ничья. Такое однажды случилось на ЧМ -1994 в группе с Италией и Мексикой. Это та же ситуация, что и 3333, за исключением того, что вероятность жеребьевки намного меньше (если бы, конечно, вовсе не учитывать дополнительные показатели, что мы не можем сделать, так как не имеем конкретного примера, вернее умышленно не выбираем таковые). Поскольку некоторые команды могут выигрывать или проигрывать свои игры с большей разницей мячей, а другие – с меньшей, то, соответственно, существует большая вероятность, что разница голов и (или) общее количество голов определят, какие команды пройдут в раунд на выбывание - так и случилось на ЧМ-1994 в группе с Италией. Если окончательный расклад составляет 4443, одна команда сыграла вничью во всех трех играх, а остальные три команды одержали одну победу и одно поражение друг против друга.Самая сложная ситуация, когда у сильнейшей команды 5 очков. В этой ситуации есть 9 возможных исходов.A 5 5 5 5 5 5 5 5 5B 5 5 5 5 5 4 4 4 3C 5 4 3 3 2 4 4 3 3D 0 1 2 1 2 3 2 2 2 Обратите внимание на большое количество ситуаций, когда оба верхних команды имеют 5 очков. Команды, набравшие 4 очка, имеют 50% шанс пройти в раунд на выбывание. Обратите внимание, что команда, набравшая всего 3 очка, также может пройти, тогда как это невозможно, когда у лучшей команды 6 очков.Если теперь суммировать информацию из всех трех частей этой серии, мы обнаружим, что существует 40 различных возможных уникальных результатов и 729 возможных окончательных результатов для группового этапа. Каждая из 40 возможных итоговых оценок была определена и обсуждена ранее. Откуда взялось число 729? Каждый групповой этап состоит из 6 матчей, и каждый матч может иметь 3 возможных исхода (победа, поражение и ничья). Следовательно, общее количество различных исходов равно 36 или 729.Это означает, что каждый из 40 уникальных результатов происходит более одного раза, при этом разные команды занимают 1-е, 2-е, 3-е и 4-е места. И каждый результат не происходит одинаковое количество раз. В таблице ниже показана частота, с которой происходит каждый из 40 исходов, и она организована от событий с наименьшей частотой к результатам с самой высокой. Комбинация 3333 является самым редким результатом и встречается только 1 раз из 729. Удивительно, но результат с наибольшей вероятностью — 7441, за которым следует 6443. Имейте в виду, что все эти результаты основаны на предположении, что для каждого совпадения существует 1 /3 шансов на победу, 1/3 на ничью и 1/3 на проигрыш. Поскольку некоторые команды сильнее других, это предположение, очевидно, справедливо не для всех матчей.ОценкаA 3 9 5 7 4 9 6 4 9 9B 3 2 5 7 4 3 6 4 6 4C 3 2 5 1 4 3 6 4 1 4D 3 2 0 1 4 3 0 3 1 0Частота 1 4 4 6 6 8 8 8 12 12Процент 0,14% 0,55% 0,55% 0,82% 0,82% 1,10% 1,10% 1,10% 1,65% 1,65% ОценкаA 7 7 6 6 5 5 5 5 9 9B 7 3 6 5 5 5 5 3 6 4C 3 2 3 2 3 3 2 3 3 3D 0 2 3 2 2 1 2 2 0 1Частота 12 12 12 12 12 12 12 12 24 24Процент 1,65% 1,65% 1,65% 1,65% 1,65% 1,65% 1,65% 1,65% 3,29% 3,29%ОценкаA 9 7 7 7 7 7 7 5 7 7B 4 6 5 4 4 6 5 4 6 5C 2 3 3 3 3 2 2 4 4 4D 1 1 1 3 2 1 1 3 0 0Частота 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24Процент 3,29% 3,29% 3,29% 3,29% 3,29% 3,29% 3,29% 3,29% 3,29% 3,29%ОценкаА 7 7 6 6 5 5 6 5 6 7B 4 4 6 5 5 4 4 4 4 4C 3 2 4 4 4 3 4 4 4 4D 1 2 1 1 1 2 2 2 3 1Частота 24 24 24 24 24 24 24 24 36 48Процент 3,29% 3,29% 3,29 % 3,29% 3,29% 3,29% 3,29% 3,29% 4,94% 6,58%В следующей таблице показан процент всех исходов в зависимости от очков, набранных командой с наибольшим количеством очков в группе.Самый высокий проценточков Шанс числа9 99 13,6%7 300 41,2%6 152 20,9%5 157 21,5% 4 20 2,7%3 1 0,1%2 0 0,0%1 0 0,0%0 0 0,0% 729100,0%наиболее вероятная высшая оценка — 7, за ней следует 5, а затем 6. Наименее вероятные высшие оценки — 3 и 4.Теперь следующий важный вопрос – вероятность перехода в следующий раунд при определенном количестве очков. Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно изучить все 729 возможных результатов и посмотреть, сколько раз встречается каждое общее количество очков и сколько раз этого общего количества очков достаточно для перехода к следующему раунду.Общее количество возможных «баллов» равно 729 исходам, умноженным на 4 балла для каждого исхода, в результате чего получается 2916 итоговых исходов. В таблице ниже показано, сколько раз каждая сумма очков встречается в этих 2916 исходах.9 7 6 5 4 3 Общееколичество9 108 0 0 0 0 0 1087 0 336 0 0 0 0 3366 36 72 192 0 0 0 3005 0 72 36 216 0 0 3244 72 240 168 144 48 0 6 723 72 168 60 96 8 4 408 2 36 144 4896 0 0 324 172 180 48 36 0 0 3360 36 60 8 4 0 0 108Итого 432 1272 560 592 56 4 2,916 В этой таблице в левом столбце показано каждая из возможных сумм баллов. В заголовках вверху указано количество комбинаций, в которых каждое из чисел имеет наивысший возможный балл. Столбец, помеченный цифрой 9, показывает общее количество вхождений каждой суммы очков для тех комбинаций, где наивысший балл равен 9, и так далее. Безусловно, наиболее распространенное количество точек — 4, и оно встречается 672 раза из 2916 случаев, или 23% случаев. Меньше всего встречаются числа 9 и ноль, каждое из которых встречается всего по 108 раз. Возможно, это удивительно, но единицы встречаются чаще, чем двойки, а семерки чаще, чем шестерки.Теперь для заданного количества очков мы смотрим на вероятность того, что команда выйдет в раунд на выбывание. Результаты показаны в таблице ниже.9 7 6 5 4 3 Общееколичество9 100,0% 100,0%7 100,0% 100,0%6 100,0% 100,0% 95,8% 97,3%5 100,0% 100,0% 98,1% 98,8%4 83,3% 60,0% 35,7% 50,0% 58,3% 54,2%3 11,1% 7,1% 0,0% 12,5% 0,0% 50,0% 8,3%2 11,1% 0,0% 0,0% 0,0% 1,2% 1 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 00,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%Итого 50,0% 50,0% 50,0% 50,0% 50,0% 50,0% 50,0%Еще раз каждое количество очков отображается в левом столбце, а числа вверху представляют собой лучший результат любой команды в группе. Поскольку в группе 4 команды и две лучшие проходят дальше, общий процент перехода в следующий раунд должен составлять 50%. Таблица показывает, что:• Команды с очками 9 и 7 должны двигаться дальше.• Команда с 6 очками должна быть очень неудачливой, чтобы не прогрессировать. Это может произойти только тогда, когда итоговый счет равен 6660.• Аналогично, команды со счетом 5 почти всегда прогрессируют. Только итоговый результат 5550 может помешать команде с 5 очками продвинуться вперед.• Команды, набравшие 4 очка, будут прогрессировать чуть более чем в 50% случаев, но этот процент варьируется в зависимости от лучшего результата в группе. Если у лучшей команды 9 очков, вероятность прогресса превышает 83%, а если у лучшей команды 6 очков, изменение прогресса составляет всего 35,7%• Команды с тремя очками будут двигаться дальше менее чем в 10% случаев и команды с 2 очками очень редко прогрессируют. Это может произойти только в том случае, если итоговый результат в группе составит 9222.На этом мы завершаем анализ группового этапа чемпионата мира. Объяснение того, как рассчитать количество совпадений для каждого возможного результата, выходит за рамки этой статьи, как и то, как вычислять результаты, когда вероятности выигрыша, проигрыша и ничьи не равны. Надеюсь, это добавит вам удовольствия от математических загадок группового этапа Кубка мира.