«Невовремя», «не вовремя» или «не во время»: какой вариант выбрать?

«Не вовремя» — это обстоятельственное наречие. Такие наречия указывают на признак действия (куда? когда?) и обычно примыкают к глаголу (зашел не вовремя). По Розенталю, отрицательная частица «не» с обстоятельственными наречиями пишется раздельно.
Кроме того, в «Правилах русской орфографии и пунктуации» под редакцией В. В. Лопатина сказано, что отрицание «не» раздельно следует писать со всеми наречиями, кроме тех, что образованы от прилагательных при помощи суффикса «о» (красивый — красиво — некрасиво). Значит, «не вовремя» пишем раздельно с частицей «не».
При этом написание «не во время» тоже может существовать. Но только если речь уже идет не о наречии, а о существительном, например: «Дети шумели не во время тихого часа, а после него».