Чтобы удалить переписку, необходимо:

1. Зайти в раздел Сообщения.
2. Открыть нужный диалог.
3. Нажать на три точки в правом верхнем углу.
4. Перейти в раздел Настройки
5. Выбрать Очистить историю (если вы просто хотите очистить переписку), либо Удалить чат (исчезнут не только сообщения в диалоге, но и весь чат с указанным пользователем).
6. Подтвердить свой выбор, нажав на кнопку Удалить, либо Очистить.

Удалить сразу все диалоги в Одноклассниках не получится, нужно удалять каждый отдельно.

Обратите внимание: удалить переписку в Одноклассниках у собеседника тоже можно, но сделать это одной кнопкой не получится. Нужно удалять каждое сообщение (либо выбрав несколько сообщений), при удалении поставив галочку рядом с Удалить у всех. На это есть 24 часа с момента отправления, после чего удалить сообщение можно будет только у себя.