Правильно: Кто постелет постель?

Вспомним исключения. К первому спряжению относятся всего три таких глагола: «брить», «стелить», «зиждиться» (и производные от них). Поэтому, хоть в неопределённой форме глагол заканчивается на «-ить», в личных формах мы напишем в окончаниях буквы «Е», «Ю»: «постелешь», «постелет», «постелете» (и «постелите» в повелительном наклонении), «постелют».
Интересно, что в словарях XX века слова «стелить» и «постелить» помечались как разговорные, а более предпочтительными считались глаголы «стлать» и «постлать».
Сегодня оба варианта считаются нейтральными, но в письменной речи более употребительны формы «стлать» и «постлать».